Tips Dan Trik Rumus Menghitung Deret Hitung ( Deret Aritmatika) D
E R E T
Deret adalah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan
memenuhi kaidah-kaidah tertentu.
Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk sebuah deret
dinamakan Suku.
Dilihat dari jumlah suku-sukunya maka deret dibagi menjadi 2 yaitu:
-Deret berhingga adalah deret
yang jumlah suku-sukunya tertentu.
-Deret tak berhingga adalah deret yang jumlah suku-sukunya tak terbatas.
Sedang dilihat dari segi pola perubahan suku-sukunya deret dapat
dibedakan menjadi 2 yaitu:
1.Deret Hitung ( Deret Aritmatika )
Deret Hitung adalah deret yang
perubahan suku-suku nya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan
tertentu dan selisih antar kedua sukunya selalu tetap.
Contoh:
2 , 4 , 6 , 8 ……..dst
3 , 6 , 9 , 12 …….dst
S1 , S2 , S3
……………………Sn.
a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b)……………..+ (a + (n-1)b)
Suku ke n deret hitung ( DH ).
Sn = a + (n-1 )b.
Banyaknya Suku ke n deret hitung ( DH ).
n =
+ 1 n=banyaknya suku ke n
Jumlah
n Suku Deret Hitung.
Dn
= n/2 { 2a + (n-1)b }
Dn = jumlah n suku deret hitung.
Dn
= n/2 ( a + Sn ).
.Contoh :
Diketahui deret hitung,
2 , 4 , 6 . . . . . .
Hitunglah :
1.Beda deret
tersebut ?
2.Suku ke 10 ?
3.Jika suku ke n
sama dengan 24 berapa banyaknya suku tersebut?
4.Jumlah 6 suku
pertama ?
Jawab :
1.
Beda deret
tsb ?
b = S2 – S1 =
S4 – S3 = 4 – 2 = 2
2.
Suku
ke 10 ?
a = 2
b = 2
n = 10
maka Sn
= a + ( n-1 )b
S10 = 2 + ( 10 – 1 ) .2
= 20
3.Jika Sn
= 24
Banyaknya suku ?
n= Sn – a/b + 1
= 24
– 2/2 + 1
=
22/2 + 1
= 12
4.Jumlah 6 suku pertama deret tersebut ?
Dn
= n/2 { 2a + ( n-1 )b }
D6
= 6/2 { 2.2 + ( 6-1 ).2 }
= 3 ( 4 + 10 )
= 42
Deret Ukur ( Deret Geometri).
Deret ukur adalah deret yang pola
perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu
yang perbandin gan/ rasio antar suku-suku nya selalu tetap.
C0ntoh:
1 , 2 , 4 , 8 . . .
. . .dst
5 , 10 , 20 , 40 .
. . . . . .dst.
S1 , S2
, S3 , . . . . . . .Sn
Dimana :
S1 =
a, sebagai suku pertama.
S2/S1
= S3/S2 = p (r)
, sebagai pembanding atau
rasio.
Sn = suku
ke n.
Suku ke n deret ukur.
a + ap + ap2 + ap3 . . . .
. .+ apn-1
Maka suku ke n
Sn = apn-1
Jumlah n suku deret ukur
S1 + S2 + S3 + . . . . .Sn
a + ap + ap2 + ap3 . . . . . . .+apn-2 + apn-1 (1)
Jika persamaan (1) dikalikan
dengan bilangan pengganda p, maka diperoleh:
ap + ap2 + ap3 + .ap4+. . . . .+ apn-1
+ apn (2)
Dengan mengurangkan persamaan (2) dari (1) maka diperoleh.
Jn
– pJn = a – apn
Rumus : Jn
=
Syarat : -1
Jn =
Syarat : p<-1 atau="" p="">1
Contoh:
1.Diketahui deret ukur :
1, 2 , 4 , 8 , . . . . .
Tentukan :
1.Pembanding /
rasio deret tersebut ?
2.Suku ke 8 ?
3.Jumlah 5
suku perta
a = 1
p = S2/S1
= 2/1 = 2
1.
Pembanding
= 2
2.
Suku ke 8
?
Sn =
S8 = 1.28-1
= 128
3.
Jumlah 5 suku
pertama ?
Karena p > 1
Maka Jn =
J5 =
=32-1
= 31
Contoh 2 :
Diketahui deret ukur :
4 , 2 , 1 , .
. . . .
Tentukan :
1.
Pembanding deret
tersebut ?
2.
Suku ke 6 deret
tsb ?
3.
Jumlah 5 suku
pertama ?
Jawab :
a = 4
1.
Pembanding p = S2/S1
= 2/4 = ½
2.
Suku ke 6 ?
Sn = a
pn-1
S6 = 4 (1/2)6-1
= 4 (1/2)5
= 4/32
= !/8
3.Jumlah 5 suku pertama ?
Karena p = ½
Maka Jn =
J5=
J5 =
J5=7
Deret tak berhingga.
Adalah sebuah deret ukur yang jumlah suku-sukunya tak
terbatas.Deret tak berhingga ada 2 yaitu :
-Deret Divergen deret yang tidak memiliki limit
jumlah.
Syarat :
|p|>1
S~ = ~
-Deret Konvergen deret yang mempunyai limit jumlah.
Syarat : |p|<1 -1="" atau="" nbsp="" o:p="" p="">
S~ =
Contoh:
Diketahui deret tak berhingga
4 , 2 , 1 ,
, . . . . .
Tentukan jumlah suku-suku tak berthingnya?
Jawab:
a =
4
p =
p =
=
S~
=
=
=
= 8
Penerapan Dalam Ekonomi.
Dibidang bisnis dan ekonomi untuk mengetahui tingkat perkembangan
missal tingkat produksi,biaya,pendapatan,penggunaan tenaga kerja atau penanaman
modal jika pola perkembangannya bertambah secara konstan dari satu variable ke
variable berikutnya maka prinsip-prinsip deret hitung dapat digunakan.
Contoh: 1
Perusahaan genteng “Makmur Jaya” menghasilkan 3000
buah genteng pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan
peningkatan produktivitas,perusahaan perkembangan produksinyamampu,menambah
produksinya sebanyak 500 buah setiap bulannya.Jika perkembangan produksinya
konstan, Berapa buah genteng yang dihasilkannya pada bulan ke lima?.Berapa buah
jumlah genteng yang dihasilkan sampai dengan bulan kelima tersebut ?.
Penyelesaian:
a = 3000 maka Sn = a + ( n-1 )b
S5
= 3000 + ( 5-1 ) 500
b = 500 = 5000
n = 5 Jn =
J5
=
( 3000+5000 )
= 20.000
Contoh : 2
Besarnya penerimaan PT. “Sentosa” dari hasil penjualan
barangnya Rp720juta pada tahun kelima dan Rp980juta pada tahun ke tujuh.Apabila
perkembangan penerimaan penjualan konstan, berapa perkembangan penerimaan per
tahun ? Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa
penerimaannya sebesar Rp 460 juta ?
Penyelesaian :
S7 = 980
, a + 6b = 980
S5 =720
, a + 4b = 720
b = 130
Perkembaqngan penerimaan pertahun sebesar Rp 130 juta
Penerimaan pada tahun pertama ?
a + 4b = 720
a + 4(130) =
720
a = 200
Pada tahun keberepa penerimaan sebesar Rp 460 jt?
Sn =
a + ( n-1 )b
460 = 200 + (
n-1 ) 130
n = 3
Penerimaan sebesar Rp 460 jt diterima pada tahun ke
tiga.
ll. Model Bunga Majemuk.
Deret ukur dapat diterapkan untuk menghitung bunga
majemuk dalam kasus-kasus antara lain ; simpan-pinjam,kasus investasi,besarnya
pengembalian kredit sesuai dengan tingkat bunga yang ditentukan dan dapat pula
untuk mengukur nilai sekarang dari suatu investasi yang akan diterima dimasa
yang akan datang.
Misal,modal pokok sebesar P dibungakan secara majemuk
dengan suku bunga pertahun setingkat (i),maka jumlah akumulatif modal tersebut
dimasa datang setelah n tahun (Fn) dapat dihitung sbb:
Setelah 1 tahun , F1 = P + P.i = P(1 + i )
Setelah 2 tahun,
F2 = P(1 +i ) + P(1 +i )i = P(1 +i)2
Setelah 3 tahun,
F3 = P(1 + i )3
Sehinga setelah n tahun , Fn = P(1 + i )n
Jika dibandingkan dengan rumus suku ke n derer ukur
maka diperoleh persamaan sbb:
Sn =
apn-1 ,P identik
dengan a atau S1
( 1 + i ) identik
denggan p(pembanding DU)
Fn identik dengan Sn-1
Sehingga Fn = P( 1 + i )n identik dengan Sn = apn-1
Jika bunga diperhitungkan lebih dari satu kali
(missalnya m kali ,masing –masing
per tahun ),maka jumlah dimasa datang dapat
dirumuskan menjadi:
Fn
= P(1 +
) , m = frekwensi pembayaran bunga dalam setahun.
Dari rumus ini dapat dicari jumlah nilai sekarang
yaitu :
P =
F
atau P =
m.n .F
Contoh :
Seorang nasabah meminjam uang di bank sebanyak Rp
5.000 000 untuk jangka waktu 3 tahun ,dengan tingkat bunga 2 % per tahun.
Berapa jumlah seluruh uang yang harus dikembalikannya pada saat pelunasan?
Seandainya perhitungan pembayaran bungan bukan tiap tahun,melainkan tiap
semester,berarapa jumlah yang harus ia kembalikan?
Jawab :
P = 5 000 000
maka , Fn = P(1+i)n
n = 3 F3 = 5 000 000 (1+0,02)3
i = 2 % = 5 000
000 (1,061208)
= 5.306 040.
Jadi setelah berjalan 3 tahun untuk melakukan
pelunasan nasabah harus mengembalikan sebanyak Rp 5.306.040.
Jika bunga diperhitungkan dibayarkan tiap semester, m
=2 ,maka :
Fn =
P(1+
)mn
F3 =
5.000.000(1+0,01)6
=
5.000.000(1,06152) = 5.307.600
Jadi jumlah yang harus dikembalikan apabila bunga
dihitung persemester menjadi Rp 5.307.600
Contoh :
Tabungan seorang mahasiswa akan menjadi sebesar Rp
532.400 ,untuk tiga tahun yang akan datang.Jika tingkat bunga bank yang berlaku
10% per tahun,berapa tabungan mahasiswa tersebut pada saat sekarang ini ?
Jawab :
F = 532.400
maka P =
n = 3 =
.532.400
i = 10% = 400.000
Jadi tabungan mahasiswa tersebut sekarang menjadi Rp 400.000
Model pertumbuhan penduduk.
Deret ukur dapat juga digunakan untuk menghitung,penaksiran
jumlah penduduk,pertumbuhan jumlah penduduk apabila pola pertumbuhannya dengan
perkalin yang konstan.
Dengan menggunakan suku ke n deret ukur maka rumus
tersebut dapat untuk menghitung pertumbuhan jumlah penduduk karena rumus untuk
mencari pertumbuhan penduduk identik dengan rumus suku ke n deret ukur.
Sn = apn-1 identik dengan Pt
= P1 Rt-1
a = S1 identik dengan P1
p identik dengan R = 1+ r
Jumlah penduduk pada tahun ke t dapat dirumuskan sbb:
Pt
= P1 Rt-1
dimana , P1 : jumlah pada tahun pertama ( sebagai basis )
Jika mulai tahun 2006 pertumbuhannya menurun menjadi
2,5%, berapa jumlah penduduk 11 tahun kemudian?
P1 = 1.800.943 Pt = P1.Rt-1
r = 0,025 P11=
1.800.943(1,025)10
R = 1,025 P11 =
2.305.359 jiwa
t = 11
No comments:
Post a Comment